[SPI・数学]組み合わせ：順列[無料問題集]

順列におけるスタンダードな問題です。

最初に正面から見て、ベンチの左端を見てみましょう。

左端には候補は5人居るので、誰が座るか5通りあります。

ここで左端のみ誰かが座るパターンはそのまま5通りとなります。次に左から二番目を考えます。

ここに座る候補は、左端に一人座ったことにより\(5-1=4\)人なので4通りになります。

左端及び左から二番目に座る組み合わせは最初に求めた5通りと今回求めた4通りから、積の法則を用いて\(5 \times 4\=20\)通りとなります。

次に真ん中(左から三番目)を考えます。

ここに座る候補は、左端に一人、その隣に一人座っているので残りの候補は\(5 – 2 = 3\)人になります。

左端から真ん中(左から三番目)までの組み合わせは最初に求めた5通りと左から二番目の4通り、今回求めた真ん中の3通りを掛け合わせて\(5 \times 4 \times 3 = 60\)通りとなります。

同様にして考えていくと最終的に右端までの組み合わせは以下のようになります。

\[5 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)|= 120 \verb|(通り)|\]

したがって座り方は120通りとなります。

次はAが真ん中に固定されている場合です。この場合、他がどのように動いても、Aの位置は変わることがありません。ですから、最初にAが真ん中に座ってしまっているものと考え、残りの4が開いている4箇所にどのように座るかを考えればよいのです。

先程同様に左端から見ると図のようになります。

左端に座る候補は4人居るので4通りの選び方があります。

次に左から二番目は\(4-1=3\)通りの選び方があります。

この時点での左端と左から二番目の組み合わせは先程同様、積の法則より\(4 \times 3\ = 12\)通りとなります。

真ん中はすでにAが座っているので飛ばして左から四番目を考えます。

ここに座る候補は\(4 – 2 = 2\)人なので2通りです。

このようにしていくと組み合わせを求める式は以下のようになります。

\[4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)|= 24 \verb|(通り)|\]

したがって、真ん中が固定された座り方は24通りです。

BとCが恋愛関係にあるリア充の問題です。

この場合、位置関係を考えると、BとCは必ず隣り合っているため、BとCを2人で1人として計算します。

BとCのあわせて1人と、残りA・D・Eの3人が椅子に座るパターンですが、4人で4箇所に座る組み合わせとなるので、計算自体は問2と同じく以下のように求められます。

\[4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 24 \verb|(通り)|\]

これより24通りとなります。

しかしここでBが左でCが右なのか、それともBが右でCが左なのかといった2つのパターンを考えなければなりません。

したがって、先程求めた24通りに2パターン掛ける必要があります。

\[24 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(パターン)|= 48 \verb|(通り)|\]

これより、BとCが必ず隣り合って座るパターンは48通りです。