[SPI・数学]組み合わせ:積の法則[無料問題集]

2018年6月29日

今回はSPIにおける積の法則の問題を確認していきましょう。

ラク
ラク
積の法則って高校で習ったけど忘れちまったぜ・・・
カズ
カズ
各要素数を求めて組み合わせとして掛け合わせるだけだからそこまで難しくないよ!

SPI積の法則の例題

積の法則は組み合わせ問題のなかでもスタンダードなものです。

与えられた要素を基に、いくつの組み合わせがあるかを積(掛け算)によって求めます。

問題1

2、3、5、7の四つの数字を用いて3桁の数を作りたい。ただし、同じ数字を何回用いても良いものとする。

いずれの位にも3が入っていない数は何通りあるか。

通り

(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問1の正解を表示
27通り
問1の解説を表示
組み合わせ問題の基本的な問題です。問題文中で気をつけるべきことは二つあり、一つ目が「同じ数字を何回用いても良い」という条件。二つ目が「いずれの位にも3が入っていない」という条件です。

一つ目の「同じ数字を何回用いても良い」ということは、257のように各数字を一回だけ使う以外にも、225や777のように重複する場合も許されます。

後々重複を許さない場合の問題も出てくるので、計算方法の違いを押さえておきましょう。

二つ目の「いずれの位にも3が入っていない」といった条件ですが、言い換えれば2・5・7の三つの数字で3桁の数字を何通り作れるか問われているのと同じ意味になります。

したがって以下のように考えます。

  • 百の位になりうる数:2・5・7・・・3通り
  • 十の位になりうる数:2・5・7・・・3通り
  • 一の位になりうる数:2・5・7・・・3通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[3\verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| = 27 \verb|(通り)|\]

問題2

0、2、3、5の四つの数字を用いて3桁の数を作りたい。ただし、同じ数字を何回用いても良いものとする。

これらの数値を用いて作ることのできる3桁の数は何通りあるか。

通り

(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問2の正解を表示
48通り
問2の解説を表示
今度は特定の数字を使わないといった条件が消えました。

しかし、0が要素に入っていることに注意しましょう。

例えば023や005のように、百の位に0がつく数字は3桁といえません。(前者が2桁、後者が1桁です。)

逆に205や500のように十の位、一の位には0がついても問題ありません。

これらを踏まえると、

  • 百の位になりうる数:2・3・5・・・3通り
  • 十の位になりうる数:0・2・3・5・・・4通り
  • 一の位になりうる数:0・2・3・5・・・4通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[3\verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| =48 \verb|(通り)|\]

問題3

2、3、5、7の四つの数字を用いて3桁の数を作りたい。ただし、同じ数字は一度しか用いてはいけないものとする。

これらの数値を用いて作ることのできる3桁の数は何通りあるか。

通り

(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問3の正解を表示
24通り
問3の解説を表示
今度は条件が「同じ数字は一度しか用いてはいけない」となっています。

これは百の位で2を使った場合、十の位では2を使うことはできず、残りの3・5・7の三つの中から選び、今度十の位で3を使った場合、一の位では2と3を使えないため、残りの5と7から選ぶような状況を言っています。

これらを踏まえると、以下のようになります。

  • 百の位になりうる数:2・3・5・7・・・4通り
  • 十の位になりうる数:4通り-1通り=3通り
  • 一の位になりうる数:3通り-1通り=2通り

求める3桁の個数は以下のようになります。

\[4 \verb|(通り)| \times 3\verb|(通り)| \times 2\verb|(通り)|=24\verb|(通り)|\]

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SPI積の法則のまとめ

積の法則ではしっかりと条件を確認しておくことが大切です。

問題文の条件によって計算方法も変わってくるので、急ぐあまり条件を見逃してしまわないように注意しましょう。

キュー
キュー
どんな簡単な問題でも読み間違えたら正解できんからな~
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