[SPI・数学]組み合わせ：円順列[無料問題集]

テーブルに番号が振られている場合は1番から順に見ていくと、A～Fの6人のうち1人選び、次に2番の席に6人から1番に座った1人を除いた5人から選び・・・を繰り返していきます。

要するに普通の順列の求め方と変わらず、以下のようになります。

\[6! \verb|(通り)| = 6 \verb|(通り)| \times 5 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 720 \verb|(通り)|\]

したがって、テーブルに番号が振られているとき、その座り方は720通りある事になります。

こちらの問題は席の場所に番号が振られておらず、以下の図のような場合重複して数えては行けません。

理由は番号を振っていないことで基準となる場所が無く、見る角度によって右も左も同じに見えてしまうからです。

例えば、左の画像を首を\(60°\)ほど傾けて見てみると(ちょっと首が痛いですが・・・。)、右の図をまっすぐ見たときと同じ並びに見えると思います。

そのような同じ並びのものを数えてはいけません。

このような順列を求める場合は、基準となる場所がないので、自分で作ってしまいましょう。

図ではAを一番上に固定していますが、このように1人固定することで他の角度から見て重複してしまう現象を避けることができます。

では残りの5箇所はどのように求めるか確認しましょう。これは今までの順列と同じでAの右隣を1番、その隣を2番・・・Aの左隣を5番として考えます。

最初の候補は5通り、次は4通り・・・となるので以下のように求められます。

\[5!\verb|(通り)| = 5 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 120 \verb|(通り)|\]

したがって、テーブルに番号が振られていないとき、その座り方は120通りと求められます。

次は順番を振らない円順列と、隣り合わせの順列の融合問題です。

基本的には両方の気をつけるべきポイントを抑えれば難なく解けます。

まず順番を振らない円順列の場合、一人を固定すれば良いのでしたね。先程同様にAを固定します。

次に、隣り合わせの順列の場合、2人を1人として見て、一人少ない人数での順列を求めた後に、その二人のどちらが先に来るかで2パターン考えられるので、最後に2を掛ければ良いです。

したがってAが固定で抜け、B・Cがセットで1人で、残りD・E・Fの3人での順列なので、まずは以下のように式を立てます。

\[4! \verb|(通り)|= 4 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 24 \verb|(通り)|\]

ここにB・Cのどちらが先に来るかの2パターンを掛けるので、以下のようになります。

\[24 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(パターン)| = 48 \verb|(通り)|\]

これより、BとCは必ず隣り合わせに座るパターンは48通りです。

次は条件が増えて少し複雑になりました。

この場合もまずはAの位置を固定しましょう。ここで条件に「AとDは向かい合って座る」とあります。

したがってDの位置も図に書き込むことができます。

残りの空席をB・C・E・Fで埋めていきます。このときの埋め方ですが、条件のないBやCを先に埋めてしまうと、条件のあるEやFを入れられない場合に数えられないといった事象が起きてしまいます。

条件がある方から埋めて行き、範囲を絞っていきましょう。

正面から見て、Aの右隣をEで埋めたとします。

するとFはその隣には埋められないため、A・Dより左側の2つの席のどちらかに限られます。

ではここで、仮にAの左隣にFを埋めたとしましょう。

この場合、残り2箇所にBとCを入れるため、以下のようになります。

\[2! \verb|(通り)| = 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 2 \verb|(通り)|\]

これより、Aの左隣にFが座る座り方は2通りです。

ではAの隣ではなく正面から見てDの左隣の場合はどうなるでしょうか。

この場合も残り2箇所にBとCを入れるため、以下のようになります。

\[2! \verb|(通り)| = 2 \verb|(通り)| \times 1 \verb|(通り)| = 2 \verb|(通り)|\]

したがって、正面から見てDの左隣の場合は2通りとなります。

これより、EをAの右隣においた場合のパターンは以下の通りです。

\[2 \verb|(通り)| + 2 \verb|(通り)| = 4 \verb|(通り)|\]

これより、EをAの右隣においた場合のパターンは4通りとなります。

同様にして、EをDの右隣、左隣、Aの左隣に置いた場合もそれぞれ4パターンとなります。

これは円順列による対称性から得られる結果です。すべてのパターンを足し合わせると以下のようになります。

\[4 \verb|(通り)| \times 4 \verb|(パターン)| = 16 \verb|(通り)|\]

したがって、16通りの答えが得られます。