[SPI・数学]組み合わせ：重複[無料問題集]

2018年6月29日2022年12月16日

今回はSPIの重複組み合わせ問題について確認していきましょう。

ラク

重複組み合わせって、普通の組み合わせと何が違うんだ？

カズ

ざっくり行ってしまうと、a,a,a,b,b,cでも、a,b,b,a,c,aでも同じとしてカウントするみたいな感じかな？

1. SPI重複の例題
- 1.1. 問題1-1
- 1.2. 問題2-1
2. SPI重複のまとめ

SPI重複の例題

重複の問題は\(\frac{r!}{a!b!c!}\)の公式を用いて計算します。

公式を使えば一瞬で答えを求められますが、どうしてそのような公式になるのか、この問題を通して理解していきましょう。

問題1-1

空欄に当てはまる数値を答えなさい。

去年は旅行でアメリカに3回、イギリスに2回、中国に1回訪れた。

訪れた順番は[]通り考えられる。

(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問1-1の正解を表示

60通り

問1-1の解説を表示

このような問題の場合は、訪れた順番を視覚的に分かりやすくするためにボックスを書きましょう。

左のボックスから順に1番目、2番目･･･と見ていきます。

ここでまずはアメリカに焦点を当ててみましょう。

この6つのボックスの中から3箇所アメリカを決めればよいのです。

その決め方は、例えば2回目・5回目・6回目のようにして選んでも、5回目・6回目・2回目のようにして選んでも下図のように同様になることが分かります。

よって、この選び方は選ぶ順番を気にしない組み合わせであり、二項定理の公式が使えることが分かります。

その組み合わせの数は、6箇所から3箇所選ぶので、\(_6 C _3\)通りです。

次にイギリスを見てみましょう。

アメリカがすでに3箇所決まっているので、残りは\(6 – 3\)で3箇所です。

その3箇所から2箇所選ぶので、\(_3 C _2\)通りとなります。

最後に中国ですが、残り1箇所から1つ選ぶので\(_1 C _1\)通りです。

最後にこれらを積の法則で組み合わせればよく、以下のようになります。

\[ _6 C _3 \verb|(通り)| \times _3 C _2 \verb|(通り)| \times _1 C _1 \verb|(通り)| \] \[= \frac{(6 \times 5 \times 4) \times (3 \times 2) \times (1)}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (1)} \verb|(通り)| \] \[= 60 \verb|(通り)| \]

したがって、60通りとなります。

Advice

重複による公式はaが\(p\)個、bが\(q\)個、cが\(r\)個あり、その合計が\(n\)個ある場合、\(\frac{r!}{a!b!c!}\)で表すことができます。この公式は先程の問題の解説において、計算過程が\(_n C _a \times _{(n-a)} C _b \times _{(n-a-b)} C _c\)となり、それを展開することから得られます。