[SPI・数学]組み合わせ:天びん[無料問題集]

2018年6月29日

今回はSPIにおける天びん問題を確認していきましょう。

ラク
ラク
SPIって天びん問題なんて言うカテゴリもあるんだな
カズ
カズ
単なる重さ比べなんだけど、便宜上天びん問題って言われているよ

SPI天びんの例題

天びん問題では、おもり(分銅)を使って何\(g\)(グラム)測れるかを問われます。

これも組み合わせの問題なのですが、最後に引き算をすることがあります。どのような場合が該当するかを例題を通して把握しましょう。

問題1

空欄に当てはまる数値を答えなさい。

\(10g\)のおもりが2つ、\(50g\)のおもりが1つ、\(100g\)のおもりが2つある。天びんの片側だけに少なくとも1つのおもりを乗せるとき、[]通りの重さを測ることができる。


(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問1の正解を表示
17通り
問1の解説を表示
まずはじめに\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)、それぞれのおもりで測れる重さを見ていきます。
  • \(10g\)が2つ:\(0g\)・\(10g\)・\(20g\)・・・3通り
  • \(50g\)が1つ:\(0g\)・\(50g\)・・・2通り
  • \(100g\)が2つ:\(0g\)・\(100g\)・\(200g\)・・・3通り

この\(10g\)なら3通り、\(50g\)なら2通り、\(100g\)なら3通りからそれぞれ1ずつ選ぶことになります。

例えば、\(70g\)を測りたい場合は\(10g\)の中からは\(20g\)を、\(50g\)の中からは\(50g\)を、\(100g\)の中からは\(0g\)を選ぶ事で\(70g\)になります。

要するに以下のように、積の法則を用いて式を立てられます。

\[3 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| = 18 \verb|(通り)|\]

しかしここで終わりではありません。

最後に、\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)の中からそれぞれ\(0g\)を選んだ場合を見てみましょう。

これはおもりを1個も乗せていないことを意味しており、問題文の「少なくとも1つのおもりを乗せる」条件に当てはまらないのでカウントしてはいけません。

したがって先程求めた18通りから1通り引く必要があり、以下のような計算になります。

\[18 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)| = 17 \verb|(通り)|\]

よって17通りが答えとなります。

問題2

空欄に当てはまる数値を答えなさい。

\(10g\)のおもりが7つ、\(50g\)のおもりが1つ、\(100g\)のおもりが2つある。天びんの片側だけに少なくとも1つのおもりを乗せるとき、[]通りの重さを測ることができる。


(ログイン後回答すると、ここに前回の正誤情報が表示されます)

問2の正解を表示
37通り
問2の解説を表示
問1と同様に\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)、それぞれのおもりで測れる重さを見ていきます。
  • \(10g\)が7つ:\(0g\)・\(10g\)・\(20g\)・\(30g\)・\(40g\)・\(50g\)・\(60g\)・\(70g\)・・・8通り
  • \(50g\)が1つ:\(0g\)・\(50g\)・・・2通り
  • \(100g\)が2つ:\(0g\)・\(100g\)・\(200g\)・・・3通り

ここから、先程のように以下の通り計算し、全て0個のときのパターンを引き47通りとなります。

\[8 \verb|(通り)| \times 2 \verb|(通り)| \times 3 \verb|(通り)| – 1 \verb|(通り)|= 47 \verb|(通り)|\]

しかし今回は\(10g\)のおもりが7個あることにも注意しなければなりません。

例えば、\(60g\)を作るとき、\(10g\)・\(50g\)・\(100g\)をそれぞれ、6個・0個・0個選ぶ場合と、2個・1個・0個選ぶ場合があり、先程の数え方をすると、これらを重複して数えることになってしまいます。

このように2通りの作り方がある重さを探していきます。すると、以下の10パターンについては2通りの作り方があることが分かり、計算上重複して数えていることが分かります。

\(50g\)・\(60g\)・\(70g\)・\(100g\)・\(110g\)・\(120g\)・\(150g\)・\(160g\)・\(170g\)・\(200\)

したがって、この重複する10通りを引きます。

\[47 \verb|(通り)| – 10 \verb|(通り)| = 37 \verb|(通り)|\]

これより、37通りとなります。

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SPI天びんのまとめ

おもりに関する問題は、合計が\(0g\)の時に数えないことに気付けるかどうかと、重複を見つけ出せるかが問題を解く鍵になります。

問1のように、個数が少ないときは\(10g\)・\(20g\)・\(50g\)・・・といった具合に1個1個挙げて数えていく方法もあります。

また、問2のように個数が多いときは、作れる最大値を考えなければいけません。

最大の数値は\(10g\)を7個、\(50g\)を1個、\(100g\)を2個用いて\(370g\)が作れます。最低が\(10g\)で、そこから\(10g\)毎に区切られているので、最高でも\(370 ÷ 10 =37\)通りしかないことが分かります。

キュー
キュー
おもりの数の制約は見落とさんようにな!
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